שְׁאֵלָה:
כיצד לחשב את הערך הצפוי של התפלגות נורמלית רגילה?
mmh
2015-10-13 13:13:43 UTC
view on stackexchange narkive permalink

ברצוני ללמוד כיצד לחשב את הערך הצפוי של משתנה אקראי רציף. נראה כי הערך הצפוי הוא $$ E [X] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xf (x) \ mathrm {d} x $$ כאשר $ f (x) $ היא פונקציית צפיפות ההסתברות של $ X $.

נניח שפונקציית צפיפות ההסתברות של $ X $ היא $$ f (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {\ frac {- x ^ {2}} {2}} $$ שהיא צפיפות ההתפלגות הרגילה הרגילה.

אז אני קודם כל מחבר את ה- PDF ומקבל $$ E [X] = \ int_ { - \ infty} ^ {\ infty} x \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {\ frac {-x ^ {2}} {2}} \ mathrm {d} x $$ אשר היא משוואה מבולגנת למדי. ניתן להעביר את הקבוע $ \ displaystyle \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} $ מחוץ לאינטגרל, וכך ניתן $$ E [X] = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xe ^ {\ frac {-x ^ {2}} {2}} \ mathrm {d} x. $$

אני נתקע כאן. כיצד אוכל לחשב אינטגרל? האם אני עושה זאת נכון עד כה? האם הדרך הפשוטה ביותר להשיג את הערך הצפוי?

כותרת השאלה שלך מטעה.אתה למעשה מנסה לחשב את הערך הצפוי של משתנה אקראי רגיל רגיל.אתה יכול גם לחשב את הערך הצפוי של פונקציה של RV.אני מעדיף להכניס את הכותרת: "כיצד לחשב את הערך הצפוי של התפלגות נורמלית רגילה."או "כיצד לחשב את הערך הצפוי של משתנה אקראי רציף."
@GuðmundurEinarsson תיקן.
"אני נתקע כאן. איך אני מחשב אינטגרל?"מצא את הנגזרת של $ -e ^ {- \ frac {x ^ 2} {2}} $.(לא, אני לא מתוחכם ומציע לך עבודות מיותרות מיותרות; אני רציני ביותר; פשוט עשה את זה!).ואז בוהה חזק מאוד בנגזרת שמצאת.
שתיים תשובות:
Deep North
2015-10-13 13:22:45 UTC
view on stackexchange narkive permalink

אתה כמעט שם, עקוב אחר הצעד האחרון שלך:

$$ E [X] = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ { \ infty} xe ^ {\ displaystyle \ frac {-x ^ {2}} {2}} \ mathrm {d} x \\ = - \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ 2/2} d (- \ frac {x ^ 2} {2}) \\ = - \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {- x ^ 2/2} \ mid _ {- \ infty} ^ {\ infty} \\ = 0 $$.

או שתוכל להשתמש ישירות בעובדה ש- $ xe ^ {- x ^ 2/2} $ היא פונקציה מוזרה וגבולות האינטגרל הם סימטריה.

טיעון הסימטריה עובד רק אם שני החצאים עצמם מתכנסים.
האם תוכל להסביר מה קורה בשורה השנייה?
ההערה של גלן נכונה אם היא לא מתכנסת אז שינוי המשתנים לא יעבוד
השורה השנייה שווה לשורה הראשונה שכן $ d (- \ frac {x ^ 2} {2}) = - xdx $ שימו לב גם לסימן השלילי בהתחלה.אז אתה יכול לחשוב על שינוי של משתנה לשילוב, ואז אתה משנה אותו בחזרה מכיוון שהגבולות לא השתנו.או שאתה יכול להשתמש באינטגרציה לפי חלקים.וזכור $ \ int_ {a} ^ {b} e ^ y dy = e ^ y \ mid_ {a} ^ {b} $
כדי להשתמש בסימטריה כדי להשיג את הממוצע אתה צריך לדעת ש $ \ int_0 ^ \ infty xf (x) dx $ מתכנס - זה קורה במקרה זה, אך באופן כללי אתה לא יכול להניח את זה.לדוגמא, טיעון הסימטריה יגיד שהממוצע של קושי הסטנדרטי הוא 0, אך אין לו כזה.
@DeepNorth זה לא משנה בסופו של דבר, אבל אתה לא צריך להכפיל את השורה השנייה כפול 2?אתה מציג את ה- 1/2 ב- $ d (- \ frac {x ^ 2} {2}) $ אבל אז אתה לא מכפיל את הפעמיים 2 מחוץ לאינטגרל (כמו שאתה עושה עם המינוס לאחר הצגת המינוס)
הערה @jmb dx ^ 2 = 2xdx
whuber
2015-10-14 03:18:04 UTC
view on stackexchange narkive permalink

מכיוון שתרצה ללמוד שיטות לציפיות מחשוב, וברצונך לדעת כמה דרכים פשוטות, תוכל ליהנות משימוש בפונקציה יצירת רגעים (mgf)

$$ \ phi (t) = E [e ^ {tX}]. $$

השיטה עובדת טוב במיוחד כאשר פונקציית ההפצה או צפיפותה ניתנות כמערכות עצמיות. במקרה זה, למעשה אינך צריך לבצע אינטגרציה לאחר שתצפה

$$ t ^ 2/2 - \ left (x - t \ right) ^ 2/2 = t ^ 2 / 2 + (-x ^ 2/2 + tx - t ^ 2/2) = -x ^ 2/2 + tx, $$

מכיוון שכותבים את פונקציית הצפיפות הרגילה הרגילה ב- $ x $ כ $ C e ^ {- x ^ 2/2} $ (עבור $ C $ קבוע שאת הערך שלו לא תצטרכו לדעת), זה מאפשר לכם לכתוב מחדש את ה- mgf שלו כ-

$$ \ phi ( t) = C \ int_ \ mathbb {R} e ^ {tx} e ^ {- x ^ 2/2} dx = C \ int_ \ mathbb {R} e ^ {- x ^ 2/2 + tx} dx = e ^ {t ^ 2/2} C \ int_ \ mathbb {R} e ^ {- (xt) ^ 2/2} dx. $$

בצד ימין, בעקבות $ e בטווח ^ {t ^ 2/2} $, תוכלו לזהות את האינטגרל של ההסתברות הכוללת להתפלגות נורמלית עם ממוצע $ t $ ושונות היחידות, ולכן היא $ 1 $. כתוצאה מכך

$$ \ phi (t) = e ^ {t ^ 2/2}. $$

מכיוון שהצפיפות הרגילה קטנה בערכים גדולים כל כך מהר, אין בעיות התכנסות ללא קשר לערך של $ t $. ניתן לזהות אנליטית ב- $ \ phi $ במחיר של $ 0 $, כלומר היא שווה לסדרת המקלאורין שלה

$$ \ phi (t) = e ^ {t ^ 2/2} = 1 + (t ^ 2/2 ) + \ frac {1} {2} \ left (t ^ 2/2 \ right) ^ 2 + \ cdots + \ frac {1} {k!} \ left (t ^ 2/2 \ right) ^ k + \ cdots. $$

עם זאת, מכיוון ש- $ e ^ {tX} $ מתכנס באופן מוחלט לכל הערכים של $ tX $, אנו עשויים לכתוב גם

$$ E [e ^ { tX}] = E \ שמאל [1 + tX + \ frac {1} {2} (tX) ^ 2 + \ cdots + \ frac {1} {n!} (tX) ^ n + \ cdots \ right] \ \ = 1 + E [X] t + \ frac {1} {2} E [X ^ 2] t ^ 2 + \ cdots + \ frac {1} {n!} E [X ^ n] t ^ n + \ cdots. $$

שתי סדרות כוח מתכנסות יכולות להיות שוות רק אם הן שוות מונח אחר מונח, מהן (השוואת המונחים הכוללים $ t ^ {2k} = t ^ n $)

$$ \ frac {1} {(2k)!} E [X ^ {2k}] t ^ {2k} = \ frac {1} {k!} (t ^ 2/2) ^ k = \ frac {1} {2 ^ kk!} t ^ {2k}, $$

רומז

$$ E [X ^ {2k}] = \ frac {(2k) !} {2 ^ kk!}, \ K = 0, 1, 2, \ ldots $$

(וכל הציפיות מכוחות מוזרים של $ X $ הן אפס). כמעט ללא מאמץ השגת את הציפיות מכל הכוחות האינטגרליים החיוביים של $ X $ בבת אחת.


וריאציות של טכניקה זו יכולות לעבוד באותה מידה יפה במקרים מסוימים, כגון $ E [1 / (1-tX)] = E [1 + tX + (tX) ^ 2 + \ cdots + (tX) ^ n + \ cdots] $, בתנאי שהטווח של $ X $ מוגבל כראוי. Mgf (וקרוב משפחתו הקרוב הפונקציה האופיינית $ E [e ^ {itX}] $) כל כך שימושיים, אם כי, שתמצאו אותם בטבלאות של מאפייני תפוצה, כמו למשל ב הערך בויקיפדיה על ההפצה הרגילה.



שאלה ותשובה זו תורגמה אוטומטית מהשפה האנגלית.התוכן המקורי זמין ב- stackexchange, ואנו מודים לו על רישיון cc by-sa 3.0 עליו הוא מופץ.
Loading...