שְׁאֵלָה:
איך משווים את הסיכוי לזרוק את הקוביות הגבוהות ביותר? (חִידָה)
KaPy3141
2019-11-20 23:34:09 UTC
view on stackexchange narkive permalink

הרגע המצאתי את החידה הבאה ועשיתי עבודה סטטיסטית. (אני באמת צריך את התשובה!)

Riddle:

דמיין משחק קוביות במטרה לזרוק את הקוביות הגבוהות ביותר. הקוביות מיוחדות ויש להן צדדים אינסופיים עם מספרים שנעים בין 0 ל -1! (מדים, ללא הטיה)

ישנם 2 שחקנים: לשחקן A יש 3 קוביות לזרוק, לשחקן B יש 7 קוביות. זה אומר שלשחקן B יש סיכוי לזכות ב -7 / 10, כלומר לזרוק את המספר הגבוה ביותר מבין כל 10.

כעת, כדי להביא לגינות במצב, השחקנים מסכימים להכפיל כל מספר נזרק על ידי שחקן A על ידי קבוע מסוים. מה הערך של זה קבוע, כך שלכל שחקן יש סיכוי של 50% לזכות?

האם תוכל למצוא נוסחה כללית לקביעת קבוע זה, בהתבסס על כמויות הקוביות שיש לשני השחקנים?

(ובמקרה שזו בעיה ידועה: האם אתה יודע איך זה נקרא?)

Considerations / Spoiler: קבוע ההתאמה אינו תלוי רק ביחס הטלות (3: 7 במקרה זה); במקום זאת, המספר המוחלט חשוב. לדוגמא, אם לשחקנים היו 300 ו -700 זריקות, הקבוע הזה יהיה הרבה יותר קרוב ל -1.

האינטואיציה שלי: אני חושב שהערכה טובה היא להניח התפלגות הומוגנית של הטלות: למשל, 3 ההטלות הן בעשרונים 0.25, 0.5 ו- 0.75! עכשיו המספר הגבוה ביותר יהיה 0.75! בצע את אותו הדבר עם שחקן B ותקבל את יחסי המספרים הגבוהים ביותר הצפויים (-> קבוע ההתאמה). לצערי זו רק האינטואיציה שלי ואני לא בטוח אם זה נכון.

EDIT: אני אסיר תודה על כל התשובות אבל הופתעתי שאיש לא השתמש בגישה דומה לזו שתיארתי. לשם השלמות, כאן אני מסביר היכן טעיתי:

הנחתי שמקסימום הזריקות הצפוי יהיה 1-1 / (n + 1), וזה נכון, כפי שמדמה התסריט הבא: 

  ייבא numpy כ- np יבוא matplotlib.pyplot כ- plt
x, y, y2 = [], [], [] עבור n בטווח (1,21):
    x.append (n)
    y2.append (1-1 / (n + 1))
    temp = []
    עבור _ בטווח (10000):
        sample = np.random.random_sample (n,)
        temp.append (max (sample))
    y.append (np.mean (temp))


פיזור plt. (x, y)
מגרש plt. (x, y2)
plt.title ("ממוצע מקסימום = 1 / (n + 1)")
plt.xlabel ("מספר זריקות")
plt.ylabel ("ממוצע מקסימום של זריקות")
plt.show ()

enter image description here

מה שאומר שאם היינו משתמשים ב- c קבוע כדי להכפיל כל אחת מהזריקות n של שחקן A, המקסימום הצפוי יהיה שווה לזריקות m של שחקן A, אם נשתמש בנוסחה זו עבור c:

enter image description here (או) enter image description here

אבל זה לא נכון, כי החידה לא מנסה להשוות את mean של המקסימום. במקום זאת היא רוצה להשוות את סכום הדירוג של שתי חלוקות השחקנים של מקסימום. (אם דירגנו כל מקסימום לאורך שתי ההפצות)

הנה, רק לצורך המחשה, אני מראה כיצד הנוסחה שלי אינה מסוגלת להתאים במדויק לחציון המקסימום:

enter image description here

על שאלה זו נענה על ידי השוואה בין שתי התפלגויות בטא המעורבות, מכיוון ששתי המקסימום עוקבות אחר הפצות ביתא $ (n, 1) $ (עבור $ n $ שונות).
@Dougal נכון - הבנתי שברגע שפרסמתי את התגובה המקורית שלי.
אני רואה.נתונים אמיתיים בפורמט זה יבואו לפי חלוקת בטא שאצטרך להעריך.(תודה למדתי משהו!) אבל במקרה זה, אני לא חושב שיש צורך בהפצת בטא!רק נניח התפלגות הומוגנית לחלוטין!
לא משנה איך אתה ניגש אליו, הפתרון האנליטי הופך פונקציה היפר-גיאומטרית.למרות שניתן לבטא פונקציה זו כפולינום במכפיל הלא ידוע, מספר המונחים פרופורציונלי ישירות למספר הקוביות הכולל והוא מתחלף בסימן, מה שהופך את הגישה הזו לא פרודוקטיבית לניתוח או לחישוב.
אני מפרסם את הפתרון שלי להשוואה ללא גזירה.ציין $ m $ הוא מספר הקוביות עבור השחקן עם יותר קוביות ו- $ n = xm $ הוא מספר הקוביות של השחקן האחר.קבוע הכפל הוא אז $ c = 2 ^ {(1 / n)} (1 + x) ^ {- (1 / n)} $.הגדרת $ m = 7, n = 3 $ ו- $ x = 3/7 $ נקבל $ c = (7/5) ^ {(1/3)} $.
@COOLSerdash, פרסמתי תשובה המכילה פיתרון מדויק אשר מסכים באופן מושלם עם הערתך.
ארבע תשובות:
knrumsey
2019-11-21 00:43:06 UTC
view on stackexchange narkive permalink

הכפל ב $ \ left (\ frac {2 (7)} {3 + 7} \ right) ^ {1/3} = 1.1187 $

באופן כללי יותר, נניח כי השחקן $ A $ מגלגל $ n $ פעמים והשחקן $ B $ מתגלגל $ m $ פעמים (ללא אובדן כלליות, אנו מניחים ש $ m \ geq n $ ). כפי שאחרים כבר ציינו, הציון (לא מוגדל) של השחקן $ A $ הוא $$ X \ sim Beta (n, 1) $$ והציון של השחקן $ B $ הוא $$ Y \ sim Beta (m, 1) $$ עם $ X $ ו $ Y $ עצמאי. לפיכך, ההתפלגות המשותפת של $ X $ ו- $ Y $ היא $$ f_ {XY} (x, y) = nmx ^ {n-1} y ^ {m-1}, \ 0 < x, y < 1. $$ טווח>

המטרה היא למצוא $ c $ קבוע כזה ש

$$ P (Y \ geq cX) = \ frac {1} {2} $$ .

הסתברות זו ניתן למצוא במונחים של $ c $ , $ n $ ו- $ m $ כדלקמן.

\ התחל {align *} P (Y \ geq cX) & = \ int_0 ^ {1 / c} \ int_ {cx} ^ 1 nmx ^ {n-1} y ^ {m-1} dydx \\ [1.5ex] & = \ cdots \ \ [1.5ex] & = c ^ {- n} \ left \ {\ frac {m} {n + m} \ right \} \ end {align *}

הגדרת שווה זה ל $ 1/2 $ ופתרון ל $ c $ תשואות

$$ c = \ left (\ frac {2m} {n + m} \ right) ^ {1 / n}. $$

(+1) נהדר!האם אוכל לשאול כיצד מצאתם את גבולות האינטגרציה לצפיפות המפרק?
@COOLSerdash זה סורק את המשולש שבו y
זהו למעשה האינטגרל של $ P (y> cx) $
זו דרך נוספת $$ P (Y \ geq cX) = \ int_0 ^ {1} \ שמאל (\ int_ {0} ^ {y / c} nmx ^ {n-1} y ^ {m-1} dx \מימין) dy $$
@SextusEmpiricus תודה!עם הרמז שלך לגבי המשולש הצלחתי להסתדר בדיוק עכשיו.הרבה תודות.
אז, שיטה זו דורשת m> n.
MikeP
2019-11-20 23:55:39 UTC
view on stackexchange narkive permalink

אני לא מאמין שגורם קנה מידה ליניארי ישווה את הסיכויים, או לפחות אני לא יכול לקבוע אחד כזה. עם זאת, יש גורם כוח שיכול.

אם תעלה את הציון של שחקן A ל $ \ frac {3} {7} $ אתה אמור להיות משחק הוגן. ברור, מכיוון שציונים הם בין 0 ל -1, העלאתו לעוצמה של בין 0 ל -1 (לא כולל) תגדיל אותה בפועל.

למה?

כמו שאני מבין את זה, ההסתברות שציון לא יעלה על $ S $ , שווה ל $ 1 - S ^ n $ .

אם הגדרנו $ 1 - S_1 ^ {n_1} = 1 - S_2 ^ {n_2} $

$$ 1-S_1 ^ {n_1} = 1-S_2 ^ {n_2} $$ $$ S_1 ^ {n_1} = S_2 ^ {n_2} $$ $$ n_1 יומן (S_1) = n_2 יומן (S_2) $$ $$ יומן (S_1) = \ frac {n_2} {n_1} יומן (S_2) $$ $$ S_1 = S_2 ^ {\ frac {n_2} {n_1}} $$

* כמובן * קיים פיתרון, מכיוון שהסיכוי שקיצוניות אחת עולה על אחר הוא פונקציה רציפה של המכפיל.אבל ההצעה שלך היא פיתרון טבעי יותר (והרבה יותר פשוט) לבעיה הבסיסית של הפיכת המשחק להוגן.(+1)
גישה הגיונית וישר קדימה!(+1) עכשיו אוכל לשאול שאלת המשך?האם יש דרך להשוות את סיכויי שני השחקנים אם במקום חלוקה אחידה מ [0,1], לצד הקוביות הייתה התפלגות לא ידועה של מספרים חיוביים?אני חושד שזה תיאורטי בלתי אפשרי מבלי לדעת את חלוקת הזריקות האפשריות, אבל הייתי רוצה לדעת את מחשבותיך.
תודה @KaPy3141, לצערי, אני חושב שזה יהיה תלוי בהפצה.ובמקרים מסוימים, יתכן שלא תוכלו להתאים את עצמכם למשחק הוגן.תאר לעצמך אם ההתפלגות היא רק 50% הסיכוי ל- 0 ו- 50% הסיכוי ל- 1. כל קנה המידה של אחד עם פחות מפחית אותו באופן מיידי רק אם הם מקבלים 1 יחיד.
כן, זה נכון, אני מסכים לחלוטין!
BruceET
2019-11-21 01:04:30 UTC
view on stackexchange narkive permalink

ברצוני לנסות להרכיב קטעי הערות ותשובות לסימולציה ולתכנית לפיתרון אנליטי.

כפי שאומר @whuber בתגובתו, מקסימום X_1 $ של שלושה עצמאיים למשתנים אקראיים אחידים סטנדרטיים יש $ X_1 \ sim \ mathsf {Beta} (3,1) $ והמקסימום $ X_2 $ span> של שבעה עצמאיים למשתנים אקראיים אחידים סטנדרטיים יש $ X_2 \ sim \ mathsf {Beta} (7,1). $ קל להוכיח אנליטית.

ואז, כמשתמע מתשובת @ MikeP, $ X_1 ^ {3/7} \ sim \ mathsf {Beta} (7,1). $ זהו קל גם להוכיח אנליטית. לפיכך $ X_2 $ ו- $ X_1 ^ {3/7} $ הם בעלי אותה התפלגות.

להלן סימולציות ב- R להפצות של $ X_1, X_2, $ ו- X_1 $ ^ {3/7 }, $ כל אחד מבוסס על דוגמאות בגודל 100 $ \, 000. $ היסטוגים מראים את תוצאות הסימולציה יחד עם פונקציות צפיפות של $ \ mathsf {Beta} (3,1) $ [עקומה אדומה] ו $ \ mathsf {Beta} (7,1) $ [כחול], לפי הצורך. 

  set.seed (1120)
x1 = לשכפל (10 ^ 5, מקסימום (runif (3)))
ממוצע (x1)
[1] 0.7488232 # aprx E (X1) = 3/4
par (mfrow = c (1,3))
היסט (x1, prob = T, col = "skyblue2")
 עקומה (dbeta (x, 3,1), הוסף = T, col = "אדום", n = 10001)

x2 = לשכפל (10 ^ 5, מקסימום (runif (7)))
ממוצע (x2)
[1] 0.8746943 # aprx E (X2) = 7/8
היסט (x2, prob = T, col = "skyblue2")
 עקומה (dbeta (x, 7,1), הוסף = T, col = "כחול", n = 10001)

ממוצע (x1 ^ (3/7))
[1] 0.8743326 # aprx 7/8
היסט (x1 ^ (3/7), prob = T, col = "skyblue2")
 עקומה (dbeta (x, 7,1), הוסף = T, col = "כחול", n = 10001)
par (mfrow = c (1,1))

enter image description here

נחמד מאוד.(+1) בדוק את תשובתי לפתרון אנליטי.(:
זה מראה יפה כיצד יהיה זה שגוי רק להגדיל את התפלגות x1 לפי גורם 0.8746943 / 0.7488232.x1 ^ (3/7) משכפל את כל ההתפלגות, לא רק את הממוצע.למדתי מזה הרבה!תודה רבה!(+1)
Giulia Martini
2019-11-21 00:09:47 UTC
view on stackexchange narkive permalink

לא פתרתי את הבעיה באופן אנליטי אבל ביצעתי סימולציה עם 100 יחסי $ a / b $ יחסים שונים שנעו בין 0.01 ל -1. $ a $ הוא מספר הקוביות של שחקן A ו $ b $ הוא מספר הקוביות של השחקן $ b $ .לכל יחס הדמיתי 1000 משחקים וחישבתי את קבוע הכפל.

זה מה שקיבלתי: enter image description here

לקוביות הנחתי שהתפלגות אחידה בין 0 ל- 1.

אם ניקח את אותו יחס הערך הצפוי לקבוע הכפל זהה.בדקתי ביחס של $ 0.5 $ תזמון $ a $ ו- $ b $ עד לגורם של 2000. כאן התוצאות כעלילת פיזור והתפלגות צפיפות

: enter image description here

enter image description here

נֶחְמָד!ומה אם הגדלת את שני השחקנים זורקים ביחס קבוע?
@KaPy3141 לבדוק את העריכה שלי!


ⓘ
שאלה ותשובה זו תורגמה אוטומטית מהשפה האנגלית.התוכן המקורי זמין ב- stackexchange, ואנו מודים לו על רישיון cc by-sa 4.0 עליו הוא מופץ.
Loading...