מבוא

כשמחשבים על תגובה אחרונה, אני שם לב שכל התשובות עד כה סובלות משימוש במונחים לא מוגדרים כמו "משתנה" ומונחים מעורפלים כמו "לא ידוע", או פונים למושגים מתמטיים טכניים. כמו "פונקציה" ו"מרווח הסתברות ". מה עלינו לומר לאדם הלא מתמטי שרוצה הגדרה פשוטה, אינטואיטיבית, אך מדויקת, של "משתנה אקראי"? לאחר כמה מקדים המתארים מודל פשוט של תופעות אקראיות, אני מספק הגדרה כזו שהיא קצרה מספיק כדי להתאים לשורה אחת. מכיוון שהוא עשוי לא לספק את ה cognoscenti , לאחר מכן מסביר כיצד להרחיב זאת להגדרה הטכנית הרגילה.

כרטיסים בתיבה

דרך אחת להתקרב לרעיון שמאחורי משתנה אקראי הוא לפנות ל מודל האקראיות של כרטיסים בקופסה. מודל זה מחליף ניסוי או תצפית על ידי קופסה מלאה בכרטיסים. על כל כרטיס כתוב תוצאה אפשרית של הניסוי. (תוצאה יכולה להיות פשוטה כמו "ראשים" או "זנבות" אבל בפועל זה דבר מורכב יותר, כמו היסטוריה של מחירי המניות, תיעוד מלא של ניסוי ארוך או רצף כל המילים במסמך .) כל התוצאות האפשריות מופיעות לפחות פעם אחת בין הכרטיסים; כמה תוצאות עשויות להופיע בכרטיסים רבים.

במקום לערוך את הניסוי בפועל, אנו מדמיינים ביסודיות - אך באופן עיוור - לערבב את כל הכרטיסים ולבחור רק אחד. אם אנו יכולים להראות כי הניסוי האמיתי צריך להתנהג כאילו הוא נערך בצורה זו, אז צמצמנו ניסוי בעולם האמיתי שעלול להיות מורכב (ויקר, וארוך) לניסיון פשוט, אינטואיטיבי, ניסוי מחשבה (או "מודל סטטיסטי"). הבהירות והפשטות שמציע מודל זה מאפשרים לנתח את הניסוי.

דוגמה

דוגמאות סטנדרטיות נוגעות לתוצאות של השלכת מטבעות וקוביות וציור קלפי משחק. אלה מסיחים את תשומת הלב במקצת בגלל הטריוויאליות שלהם, כדי להמחיש, נניח שאנחנו מודאגים מתוצאת הבחירות לנשיאות ארה"ב בשנת 2016. כפשט (זעיר), אניח שאחת משתי המפלגות הגדולות - הרפובליקנית (R) או דמוקרטי (ד) - ינצח. מכיוון שהתוצאות אינן ודאיות (עם המידע הקיים כיום), אנו מדמיינים להכניס כרטיסים לקופסה: חלקם רשומים "R" ואחרים עם "D". המודל שלנו לתוצאה הוא למשוך כרטיס אחד בדיוק מהתיבה הזו.

משהו חסר: עדיין לא קבענו כמה כרטיסים יהיו לכל תוצאה. למעשה, גילוי הדבר הוא הבעיה העיקרית של הסטטיסטיקה: בהתבסס על תצפיות (ותיאוריה), מה ניתן לומר על הפרופורציות היחסיות של כל תוצאה בתיבה?

(אני מקווה שברור שה פרופורציות של כל סוג כרטיס בתיבה קובעות את המאפיינים שלו, ולא את המספרים האמיתיים של כל כרטיס. הפרופורציות מוגדרות - כרגיל - לספירה של כל סוג כרטיס חלקי המספר הכולל של כרטיסים. למשל, תיבה עם כרטיס "D" אחד וכרטיס "R" אחד מתנהגת בדיוק כמו תיבה עם מיליון כרטיסי "D" ומיליון כרטיסי "R", כי בשני המקרים כל סוג הוא 50% מכל הכרטיסים ולכן לכל אחד מהם יש סיכוי של 50% להיגרר כאשר הכרטיסים מעורבבים ביסודיות.)

הפיכת המודל לכמותית

אך בואו לא נעבור לשאלה זו כאן מכיוון שאנו קרובים למטרתנו להגדיר משתנה אקראי. הבעיה עם המודל עד כה היא שהוא אינו ניתן לכימות ואילו היינו רוצים לענות על שאלות כמותיות באמצעותו. ואני גם לא מתכוון לשאלות טריוויאליות אלא לשאלות מעשיות אמיתיות כמו "אם לחברה שלי יש מושקע של מיליארד אירו בפיתוח דלקים מאובנים מהחוף בארה"ב, עד כמה ישתנה ערך ההשקעה הזו בעקבות הבחירות ב -2016 ? " במקרה זה המודל כל כך פשוט שאין הרבה מה שאנחנו יכולים לעשות בכדי לקבל תשובה מציאותית לשאלה זו, אך נוכל להרחיק לכת ולהתייעץ עם הצוות הכלכלי שלנו ולשאול את דעתם לגבי שתי התוצאות האפשריות:

1. אם הדמוקרטים ינצחו, כמה תשתנה ההשקעה? (נניח שהתשובה היא $ d $ דולר.)

2. אם הרפובליקנים ינצחו, כמה זה ישתנה? (נניח שהתשובה היא $ r $ דולר.)

התשובות הן מספרים. כדי להשתמש בהם במודל, אבקש מהצוות שלי לעבור על כל הכרטיסים בתיבה ועל כל כרטיס "D" כדי לכתוב " $ d $ דולר "ועל כל כרטיס" R "לכתוב" $ r $ דולר. " כעת נוכל לדגמן את אי הוודאות בהשקעה בצורה ברורה וכמותית: שינוי הערך שלה לאחר הבחירות זהה לקבלת סכום הכסף שנכתב בכרטיס יחיד שנשלף באופן אקראי מתיבה זו.

מודל זה עוזר לנו לענות על שאלות נוספות אודות ההשקעה. למשל, עד כמה עלינו להיות בטוחים לגבי שווי ההשקעה ? למרות שיש נוסחאות מתמטיות (פשוטות) לאי הוודאות הזו, נוכל לשחזר את תשובותיהם בצורה מדויקת באופן סביר רק על ידי שימוש חוזר במודל שלנו - אולי פי אלף - כדי לראות אילו סוגים של תוצאות מתרחשות בפועל ומדידת התפשטותם. מודל כרטיסים בקופסה נותן לנו דרך לנמק כמותית לגבי תוצאות לא ודאיות.

משתנים אקראיים

כדי להשיג תשובות כמותיות לגבי אי ודאות או בתופעות משתנות, אנו יכולים לאמץ מודל של כרטיס בקופסה ולכתוב מספרים על הכרטיסים. תהליך זה של כתיבת מספרים צריך לפעול על פי כלל אחד בלבד: עליו להיות עקבי. בדוגמה, על כל כרטיס דמוקרטי צריך להיות כתוב " $ d $ דולר - ללא יוצאים מן הכלל - וב כל כרטיס רפובליקני חייב להיות כתוב " $ r $ דולרים.

A משתנה אקראי הוא כל דרך עקבית לכתוב מספרים על כרטיסים בתיבה.

(הסימון המתמטי לכך הוא לתת שם לתהליך ה מספור מחדש, בדרך כלל עם אות לטינית גדולה כמו $ X $ או $ Y $ . המידע המזהה שנכתב על הכרטיסים נקרא לעתים קרובות באותיות קטנות, בדרך כלל $ \ omega $ span> ("אומגה" ביוונית קטנה) הערך המשויך באמצעות המשתנה האקראי $ X $ לכרטיס $ \ omega $ מצוין $ X (\ omega) $ . בדוגמה, אם כן, אנו יכולים לומר משהו כמו " $ X $ הוא משתנה אקראי המייצג את שינוי ערך ההשקעה." זה יוגדר במלואו על ידי ציון $ X (\ text {D}) = d $ ו $ X (\ text {R}) = r $ . במקרים מסובכים יותר, הערכים של $ X $ spa n> ניתנים על ידי תיאורים מורכבים יותר ולעתים קרובות על ידי נוסחאות. למשל, הכרטיסים עשויים לייצג מחירי סגירה של מניה לשנה, והמשתנה האקראי $ X $ עשוי להיות הערך בזמן מסוים של נגזרת כלשהי על כך. מניות, כגון אופציית מכר. חוזה האופציה מתאר כיצד מחשבים את $ X $ . סוחרי אופציות משתמשים בדיוק במודל מסוג זה כדי לתמחר את מוצריהם.)

שמתם לב ש $ X $ אינו אקראי ואינו משתנה ? זה גם לא "לא בטוח" או "לא ידוע". זוהי הקצאה מוגדרת (של מספרים לתוצאות), משהו שאנחנו יכולים לרשום בידע מלא ובוודאות מלאה. מה ש הוא אקראי הוא תהליך משיכת כרטיס מהקופסה; מה ש הוא משתנה הוא הערך בכרטיס שעלול להיגרר.

שימו לב גם להפרדה נקייה בין שני נושאים שונים הכרוכים בהערכת ההשקעה: ביקשתי מהכלכלנים שלי לקבוע עבורי $ X $ , אך לא לדון על תוצאת הבחירות. אשתמש במידע אחר (אולי על ידי קריאה ליועצים פוליטיים, אסטרולוגים, שימוש בלוח של Ouija, או כל דבר אחר) כדי להעריך את הפרופורציות של כל אחד מכרטיסי ה- "D" ו- ​​"R" להכניס לארגז. hr />

לאחר מכן: אודות מדידות

כאשר ההגדרה של משתנה אקראי מלווה ב אזהרה "מדידה", מה שמגדיר את ההגדרה הוא הכללה של מודל כרטיסים בארגז למצבים עם תוצאות אינסופיות רבות. (מבחינה טכנית, יש צורך בכך רק ב תוצאות אינסופיות או כאשר מדובר בהסתברויות לא רציונליות , ואפילו במקרה האחרון ניתן להימנע.) עם תוצאות רבות אינסוף זה קשה. לומר מה יהיה הפרופורציה מכלל הסכום. אם יש אינסוף כרטיסי "D" ואינסוף הרבה כרטיסי "R", מה הפרופורציות היחסיות שלהם? איננו יכולים לברר עם חלוקה גרידא של אינסוף אחד על ידי אחר!

במקרים אלה, אנו זקוקים לדרך אחרת כדי לציין את הפרופורציות. סט כרטיסים "מדיד" הוא כל אוסף כרטיסים בתיבה שעבורם ניתן להגדיר את חלקם. כאשר זה נעשה, המספר שחשבנו עליו כ"פרופורציה "נקרא" ההסתברות ". (לא לכל אוסף כרטיסים צריך להיות סביר.)

בנוסף לעמידה בדרישת העקביות, משתנה אקראי $ X $ צריך לאפשר לנו לחשב הסתברויות שקשורות לשאלות טבעיות לגבי התוצאות. באופן ספציפי, אנו רוצים ביטחון ששאלות של הטופס "מה הסיכוי שהערך $ X (\ omega) $ ימצא בין כאלה ואחרים ( $ a $ ) וכאלה וכאלה ( $ b $ )? " יהיו למעשה תשובות מוגדרות מתמטית, לא משנה אילו שני ערכים אנו נותנים למגבלות $ a $ ו- $ b $ span>. נהלי שכתוב כאלה נאמרים כ"מדידים ". כל המשתנים האקראיים חייבים להיות מדידים, בהגדרה.

משתנה אקראי הוא משתנה שערכו תלוי באירועים לא ידועים. אנו יכולים לסכם את האירועים הלא ידועים כ"מצב "ואז המשתנה האקראי הוא פונקציה של המצב.

דוגמה:

נניח שיש לנו שלוש גלילות קוביות ($ D_ {1 } $, $ D_ {2} $, $ D_ {3} $). ואז המדינה $ S = (D_ {1}, D_ {2}, D_ {3}) $.

1. משתנה אקראי אחד $ X $ הוא מספר 5s. זהו:

$$ X = (D_ {1} = 5?) + (D_ {2} = 5?) + (D_ {3} = 5?) $$

2. משתנה אקראי נוסף $ Y $ הוא סכום הקוביות. זהו:

$$ Y = D_ {1} + D_ {2} + D_ {3} $$

באופן לא רשמי, משתנה אקראי הוא דרך להקצות קוד מספרי לכל תוצאה אפשרית. *

דוגמה 1

אני הופך מטבע. קבוצת התוצאות האפשריות (המכונה גם "שטח הדגימה") עשויה להיכתב כ $ \ {H, T \} $.

דוגמה למשתנה אקראי $ X $ עשויה להקצות $ X (H) = 1 $ ו- $ X (T) = 0 $. כלומר, ראשים "מקודדים" כ- $ 1 $ וזנבות "מקודדים" כ- $ 0 $.

דוגמה 2

אני שואב כרטיס מחפיסת 52 קלפים רגילה. קבוצת התוצאות האפשריות היא $$ \ {A ♠, K ♠, \ נקודות, 2 ♠, A ♡, K ♡, \ נקודות, 2 ♡, A ♢, K ♢, \ נקודות, 2 ♢, A ♣, K ♣, \ נקודות, 2 ♣ \}. $$

בגשר, אס שווה 4 נקודות קלף גבוהות, מלך 3, מלכה 2 ושקע 1. כל קלף אחר שווה 0 נקודות.

אז אנו עשויים לתת ל- $ Y $ להיות המשתנה האקראי המתאים, כאשר למשל $ Y \ left (A ♡ \ right) = 4 $, $ Y \ left (J ♣ \ right) = 1 $ ו- $ Y \ left (7 ♠ \ right) = 0 $.

מה הטעם במשתנים אקראיים? תשובה פשוטה אחת היא שסמלים מופשטים כמו "$ H $", "$ T $" או "$ A ♠ $" הם לפעמים קשים וטורדניים לטיפול. אז במקום זאת אנו מתרגמים אותם למספרים, שקל יותר לתפעל אותם.

$$$$

* באופן רשמי משתנה אקראי הוא פונקציה הממפה כל תוצאה (במרחב המדגם) למספר אמיתי.

בניגוד למשתנה רגיל, לא ניתן להחליף משתנה אקראי לערך אחד שאינו משתנה. ניתן לציין במקום זאת מאפיינים סטטיסטיים כגון התפלגות של המשתנה האקראי. ההתפלגות היא פונקציה המספקת את ההסתברות שהמשתנה יקבל ערך נתון, או ייפול בטווח בהתחשב בפרמטרים מסוימים כגון ממוצע או סטיית תקן.

משתנים אקראיים עשויים להיות מסווגים כ בדידים אם ההתפלגות מתארת ​​ערכים מתוך קבוצה ניתנת לספירה, כגון המספרים השלמים. הסיווג הנוסף למשתנה אקראי הוא רציף והוא משמש אם ההתפלגות מכסה ערכים ממערך בלתי ניתן לספור כמו המספרים האמיתיים.

נאמר לי הסיפור הזה:

ניתן להשוות משתנה אקראי עם האימפריה הרומית הקדושה: האימפריה הרומית הקדושה לא הייתה קדושה, היא לא הייתה רומאית, והיא לא הייתה אימפריה.

באותו אופן, משתנה אקראי אינו אקראי ואינו משתנה.זו פשוט פונקציה.(הסיפור נאמר כאן: מקור).

זו לפחות דרך מהירה להסביר, שעשויה לעזור לאנשים לזכור!

משתנה אקראי, המסומן בדרך כלל ב- X, הוא משתנה בו התוצאה אינה ודאית. ההתבוננות בתוצאה מסוימת של משתנה זה נקראת מימוש. באופן קונקרטי יותר, זו פונקציה הממפה חלל הסתברות למרחב מדיד, הנקרא בדרך כלל מרחב מדינה. משתנים אקראיים הם בדידים (יכולים לקחת מספר ערכים מובחנים) או רציפים (יכולים לקחת אינסוף ערכים).

שקול את המשתנה האקראי X שהוא סך כל המתקבל בעת גלגול שתי קוביות. זה יכול לקחת כל אחד מהערכים 2-12 (עם סבירות שווה שקיבלו קוביות הוגנות) והתוצאה לא ברורה עד לגלגול הקוביות.

מתוך ויקיפדיה:

במתמטיקה (במיוחד תורת ההסתברות וסטטיסטיקה), משתנה אקראי (או משתנה סטוכסטי) הוא (באופן כללי) פונקציה מדידה ממפה מרחב הסתברות למרחב מדיד. משתנים אקראיים הממפים את כל התוצאות האפשריות של אירוע למספרים האמיתיים נחקרים לעתים קרובות בסטטיסטיקה אלמנטרית ומשמשים במדעים לחיזוי על סמך נתונים שהתקבלו מניסויים מדעיים. בנוסף ליישומים מדעיים, פותחו משתנים אקראיים לניתוח משחקי מזל ואירועים סטוכסטיים. התועלת של משתנים אקראיים נובעת מיכולתם לתפוס רק את המאפיינים המתמטיים הדרושים כדי לענות על שאלות הסתברותיות.

מאת cnx.org:

משתנה אקראי הוא פונקציה המקצה ערכים מספריים ייחודיים לכל התוצאות האפשריות של ניסוי אקראי בתנאים קבועים. משתנה אקראי אינו משתנה אלא פונקציה הממפה אירועים למספרים.

בלימודים שלי באוניברסיטה שאינה מתמטיקה, נאמר לנו שמשתנה אקראי הוא מפה מערכים שהמשתנה יכול לקחת להסתברויות. זה אפשר לשרטט את התפלגויות ההסתברות

לאחרונה הבנתי עד כמה שונה הדבר ממה שמתמטיקאים חושבים. מתברר שלפי המשתנה האקראי הם מתכוונים לפונקציה פשוטה X: Ω → R, שלוקחת אלמנט של שטח מדגם Ω ( aka תוצאה, כרטיס או יחיד, כמוסבר לעיל) ומתרגם אותו ל מספר R אמיתי בטווח (-∞, ∞). כלומר, צוין כראוי לעיל שהוא אינו אקראי ואין משתנה כלל. האקראיות בדרך כלל מגיעה עם מדד ההסתברות P, כחלק משטח המדידה (Ω, P). P ממפה דגימות ל- R, בדומה למשתנה אקראי אך טווח זמן זה מוגבל ל- [0,1] ואנחנו יכולים לומר שמשתנה אקראי מתרגם (Ω, P) ל- (R, P), משתנה אקראי לפיכך מצויד בהסתברות מדוד P: R -> [0,1] כדי שתוכל לומר לכל x ב- R מה ההסתברות להתרחשותה.

אני לא יודע למה אתה צריך סוג כזה של משתנים אקראיים מדוע מלכתחילה אינך יכול לדגום את אלמנטים של R אך נראה כי תרגום דוגמאות לערכים מספריים מאפשר לנו להזמין את הדגימות, לצייר את ההתפלגות ולחשב את הציפייה. קיבלתי את הרעיון הזה בקריאה מדריך לתיאוריה של מדדים (תורת מדוד לבובות) יכול להיות שמתמטיקאים יש יישומים טובים יותר של משתנה אקראי, אבל אני לא יכול למצוא אותם במחקר המיותר שלי. אותו טקסט ממש מציע שלא תצטרך תמיד להמיר דוגמאות למספרים, במיוחד כדי לחשב אנטרופיה עבור האלף-בית $ \ Omega $

$$ H (\ Omega) = \ sum {P (\ Omega_i) ln (\ Omega_i)} $$

אינטגרל אינו זקוק לשום ערכים אמיתיים של משתנה אקראי.