אני מחפש התפלגות שבה צפיפות ההסתברות יורדת במהירות לאחר נקודה מסוימת מהממוצע, או במילים שלי "התפלגות בצורת רמה".
משהו בין הגאוס למדים.
יתכן שאתה מחפש הפצה הידועה בשמות רגיל כללי (גרסה 1), הפצת תת-בוט או הפצת כוח אקספוננציאלית. זה מתבצע פרמטריציה לפי מיקום $ \ mu $, קנה מידה $ \ sigma $ וצורה $ \ beta $ עם pdf
$$ \ frac {\ beta} {2 \ sigma \ Gamma (1 / \ beta) } \ exp \ left [- \ left (\ frac {| x- \ mu |} {\ sigma} \ right) ^ {\ beta} \ right] $$
כפי שאתה יכול להבחין, עבור $ \ beta = 1 $ זה דומה ומתכנס להפצה Laplace, עם $ \ beta = 2 $ זה מתכנס לנורמלי, וכאשר $ \ beta = \ infty $ להפצה אחידה.
אם אתם מחפשים תוכנה שמיישמת אותה, תוכלו לבדוק בספריה normalp R (Mineo and Ruggieri, 2005). מה שנחמד בחבילה זו הוא שבין היתר היא מיישמת רגרסיה עם שגיאות כלליות המופצות, כלומר מזעור הנורמה $ L_p $.
Mineo, AM, & Ruggieri, M. ). כלי תוכנה להפצת כוח אקספוננציאלית: חבילת normalp. כתב העת לתוכנה סטטיסטית, 12 (4), 1-24.
ההערה של @ StrongBad היא הצעה ממש טובה. הסכום של RV ופנאי שטח אחיד יכול לתת לך בדיוק את מה שאתה מחפש אם אתה בוחר בפרמטרים נכון. ולמעשה יש לו פתרון צורה סגורה נחמד באופן סביר .
קובץ ה- PDF של המשתנה הזה ניתן על ידי הביטוי:
$$ \ dfrac {1} {4a} \ left [\ mathrm {erf} \ left (\ dfrac {x + a} {\ sigma \ sqrt {2}} \ right) - \ mathrm {erf} \ left (\ dfrac {xa} {\ sigma \ sqrt {2}} \ right) \ right] $$
$ a $ הוא "הרדיוס" של ה- RV האחיד הממוצע. $ \ sigma $ הוא סטיית התקן של הממוצע האפס קרוואנים גאוסיים.
יש אינסוף הפצות "בצורת מישור".
האם חיפשת אחר משהו ספציפי יותר מאשר "בין הגאוסי למדים"? זה קצת מעורפל.
הנה קל אחד: תמיד תוכל לתקוע חצי נורמלי בכל קצה של מדים:
ניתן לשלוט על "רוחב" המדים ביחס לסולם הנורמלי כך שתוכלו לקבל מישורים רחבים או צרים יותר, תוך מתן מעמד שלם של התפלגויות, הכוללות את הגאוס ואת המדים כמקרים מגבילים.
הצפיפות היא:
$ \ frac {h} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} e ^ {- \ frac {1} {2 \ sigma ^ 2} (x- \ mu + w / 2) ^ 2} \ mathbb {I} _ {x \ leq \ mu-w / 2} \\ + \: \ frac {h} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma } \ quad \ mathbb {I} _ {\ mu-w / 2< x \ leq \ mu + w / 2} \\ + \ frac {h} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} e ^ {- \ frac {1} {2 \ sigma ^ 2} (x- \ mu-w / 2) ^ 2} \ mathbb {I} _ {x > \ mu + w / 2} $
איפה $ h = \ frac {1} {1 + w / (\ sqrt {2 \ pi} \ sigma)} $
כ $ \ sigma \ עד 0 $ עבור $ w $ קבוע, אנו ניגשים למדים ב- $ (\ mu-w / 2, \ mu + w / 2) $ וכ- $ w \ עד 0 $ עבור $ \ sigma $ קבוע אנו מתקרבים ל- $ N (\ mu, \ sigma ^ 2) $.
הנה כמה דוגמאות (עם $ \ mu = 0 $ בכל מקרה):
אולי נקרא לזה מְאוּרָה סיטי "מדים עם זנב גאוס".
ראה את התפלגות "מגדל השטן" שלי כאן [1]:
$ f (x) = 0.3334 $, עבור $ | x | < 0.9399 $;
$ f (x) = 0.2945 / x ^ 2 $, עבור $ 0.9399 \ leq | x | < 2.3242 $; ו-
$ f (x) = 0 $, עבור $ 2.3242 \ leq | x | $.
"החלקה- חלוקת הלבוש מעניינת עוד יותר.
קל לבנות הפצות עם צורה שתרצה.
[1]: Westfall, PH (2014)
"Kurtosis as Peakedness, 1905 - 2014. R.I.P."
Am. סטאט. 68 (3): 191–195. doi: 10.1080 / 00031305.2014.917055
pdf pdf גישה: http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC4321753/pdf/nihms-599845.pdf
הרבה תשובות נחמדות. לפתרון המוצע כאן יש שתי תכונות: (i) שיש לו צורה פונקציונלית פשוטה במיוחד, ו- (ii) שההפצה המתקבלת מייצרת בהכרח קובץ PDF בצורת רמה (לא רק כמקרה מיוחד). אני לא בטוח אם לזה כבר יש שם בספרות, אך נעדר אותו, בואו נקרא לזה הפצת מישור עם pdf $ f (x) $:
$$ f (x) = k \ frac {1} {1 + x ^ {2 a}} \ quad \ quad \ text {for} x \ in \ mathbb {R} $$
איפה:
הנה עלילת ה- pdf, לערכים שונים של פרמטר $ a $:
.
כאשר הפרמטר $ a $ הופך גדול, הצפיפות נוטה להתפלגות אחידה (-1,1). העלילה הבאה משווה גם לרגיל רגיל (מקווקו אפור):
עוד אחת ( עריכה : פשטתי את זה עכשיו. עריכה 2 : פשטתי את זה עוד יותר, אם כי עכשיו התמונה לא ממש משקפת את המשוואה המדויקת הזו):
$$ f (x) = \ frac {1} {3 \ cdot \ alpha} \ cdot \ log {\ left (\ frac {\ cosh {\ left (\ alpha \ cdot a \ right) } + \ cosh {\ left (\ alpha \ cdot x \ right)}} {\ cosh {\ left (\ alpha \ cdot b \ right)} + \ cosh {\ left (\ alpha \ cdot x \ right)} } \ right)} $$
לא מסודר, אני יודע, אבל כאן ניצלתי את העובדה ש- $ \ log (\ cosh (x)) $ מתקרב לקו כאשר $ x $ עולה.
בעיקרון יש לך שליטה על חלקה במעבר ($ alpha $). אם $ a = 2 $ ו- $ b = 1 $ אני מבטיח שזו צפיפות הסתברות תקפה (סכומים ל -1). אם תבחר בערכים אחרים, יהיה עליך לבצע נורמליזציה מחדש.
הנה קוד דוגמה כלשהו ב- R:
f = function (x, a, b, alpha) {y = log ((cosh (2 * alpha * pi * a) + cosh (2 * alpha * pi * x)) / (cosh (2 * alpha * pi * b) + cosh (2 * alpha * pi * x))) y = y / pi / alpha / 6 return (y)} f היא ההפצה שלנו. בואו נתווה אותו לרצף של x
עלילה (0, type = "n", xlim = c (-5,5), ylim = c (0 , 0.4)) x = seq (-100,100, length.out = 10001L) עבור (i ב- 1:10) {y = f (x = x, a = 2, b = 1, alpha = seq (0.1,2, אורך.אוט = 10L) [i]); הדפס (הדבק ("integral =", עגול (סכום (0.02 * y), 3L))) שורות (x, y, type = "l", col = rainbow (10, alpha = 0.5) [i], lwd = 4)} אגדה ("topright", הדבק ("alpha =", עגול (seq (0.1,2, length.out = 10L), 3L)), col = rainbow (10), lwd = 4) פלט מסוף:
# [1] "integral = 1" # [1] "integral = 1" # [1] "integral = 1" # [1 ] "integral = 1" # [1] "integral = 1" # [1] "integral = 1" # [1] "integral = 1" # [1] "integral = NaN" # אני חושד בזרימה נמוכה, בודק את המגרשים אל תציג התבדלות בכלל # [1] "integral = NaN" # [1] "integral = NaN" ועלילה:
אתה יכול לשנות את a ו- b , בערך ההתחלה והסיום של המדרון בהתאמה, אבל אז יהיה צורך לבצע נורמליזציה נוספת ולא חשבתי את זה ( בגלל זה אני משתמש ב a = 2 ו- b = 1 בעלילה).
אם אתם מחפשים משהו פשוט מאוד, עם מישור מרכזי וצידי התפלגות המשולש, תוכלו למשל לשלב חלוקות N משולש, N בהתאם ליחס הרצוי בין המישור לירידה.למה משולשים, כי פונקציות הדגימה שלהם כבר קיימות ברוב השפות.אתה ממיין באופן אקראי מאחד מהם.
ב- R זה ייתן:
ספרייה (משולש)
rplateau = פונקציה (n = 1) {
לשכפל (n, מתג (דוגמה (1: 3, 1), משולש (1, 0, 2), משולש (1, 1, 3), משולש (1, 2, 4)))
}
היסט (rplateau (1E5), הפסקות = 200)
הנה דבר יפה: תוצר של שתי פונקציות לוגיסטיות.
(1 / B) * 1 / (1 + exp (A * (x-B))) * 1 / (1 + exp (-A * (x + B)))
היתרון בכך שלא יהיה חלקית.
B מתאים את הרוחב ו- A מתאים את תלילות הנפילה.להלן מוצגים B = 1: 6 עם A = 2.הערה: לא הקדשתי זמן להבין כיצד לנרמל זאת כראוי.