שְׁאֵלָה:
הקשר בין poisson לבין התפלגות מעריכית
user862
2010-08-25 13:33:15 UTC
view on stackexchange narkive permalink

זמני ההמתנה להפצת הפואסון הם התפלגות מעריכית עם פרמטר lambda. אבל אני לא מבין את זה. פואסון מדגמן למשל את מספר ההגעה ליחידת זמן. איך זה קשור להפצה מעריכית? נניח שההסתברות להגעת k ביחידת זמן היא P (k) (לפי דוגמת poisson) וההסתברות ל- k + 1 היא P (k + 1), איך מודל ההתפלגות האקספוננציאלי הוא זמן ההמתנה ביניהם?

לחלוקה של פואסון * אין זמני המתנה.אלה הם מאפיין של תהליך פואסון.
ראה גם [כאן] (http://www.csee.usf.edu/~kchriste/tools/poisson.pdf), הסבר טוב יותר לגבי ההבדל בין שתי ההפצות הללו.
חָמֵשׁ תשובות:
#1
+82
user28
2010-08-25 14:43:51 UTC
view on stackexchange narkive permalink

אשתמש בסימון הבא כדי להיות עקביים ככל האפשר עם הוויקי (למקרה שתרצה לעבור קדימה ואחורה בין התשובה שלי להגדרות הוויקי ל poisson ו- אקספוננציאלי.)

$ N_t $: מספר ההגעה במהלך פרק הזמן $ t $

$ X_t $: הזמן שלוקח הגעה אחת נוספת להגיע בהנחה ש מישהו הגיע בזמן $ t $

בהגדרה, התנאים הבאים שווים:

$ (X_t > x) \ equiv (N_t = N_ {t + x}) $

האירוע בצד שמאל לוכד את האירוע שאיש לא הגיע בפרק הזמן $ [t, t + x] $, מה שמרמז שספירת מספר ההגעה בזמן $ t + x $ היא זהה לספירה בזמן $ t $ שהוא האירוע בצד ימין.

לפי כלל ההשלמה, יש לנו גם:

$ P (X_t \ le x) = 1 - P (X_t > x) $

בעזרת המקבילה של שני האירועים שתיארנו לעיל, נוכל לכתוב מחדש את האמור לעיל כ:

$ P (X_t \ le x ) = 1 - P (N_ {t + x} - N_t = 0) $

אבל,

$ P (N_ {t + x} - N_t = 0) = P (N_x = 0) $

באמצעות poisson pmf לעיל, כאשר $ \ lambda $ הוא המספר הממוצע של הגעות ליחידת זמן ו- $ x $ כמות יחידות זמן, מפשט ל:

$ P (N_ {t + x} - N_t = 0) = \ frac {(\ lambda x) ^ 0} {0!} e ^ { - \ lambda x} $

כלומר

$ P (N_ {t + x} - N_t = 0) = e ^ {- \ lambda x} $

החלפת ה- eqn המקורי שלנו, יש לנו:

$ P (X_t \ le x) = 1 - e ^ {- \ lambda x} $

האמור לעיל הוא cdf של קובץ PDF אקספוננציאלי.

אוקי זה מבהיר. ניתן להשתמש בקובץ PDF אקספוננציאלי לדגם זמני המתנה בין שתי פגיעות פואסון עוקבות ואילו פויסון מדגמן את ההסתברות למספר פגיעות. פואסון הוא דיסקרטי ואילו אקספוננציאלי הוא התפלגות רציפה. יהיה מעניין לראות דוגמא לחיים האמיתיים שבה השניים נכנסים לשחק במקביל.
הא?האם $ t $ הוא ** רגע ** בזמן או ** פרק זמן ** של זמן?
שים לב, כי חלוקת פואסון אינה מרמזת אוטומטית על קובץ PDF אקספוננציאלי לזמני המתנה בין האירועים.זה מסביר רק מצבים שבהם אתה יודע שתהליך פואסון פועל.אך עליכם להוכיח את קיומו של התפלגות הפואסון ואת קיומו של קובץ PDF אקספוננציאלי בכדי להראות שתהליך פויסון הוא מודל מתאים!
@CodyBugstein Both: הם ניתנים להחלפה בהקשר זה.הגעות אינן תלויות זו בזו, מה שאומר שזה לא משנה מה קיזוז הזמן.התקופה מהזמן '0' ועד הזמן 't' שווה לכל פרק זמן של אורך 't'.
@user862: זה ממש מקביל ליחס בין תדר ואורך גל.אורך גל ארוך יותר;תדר נמוך אנלוגי ל: זמן המתנה ארוך יותר;להוריד את ההגעה הצפויה.
@CodyBugstein כאשר t הוא "תקופת זמן" זה המרווח [0, t], כלומר התקופה מרגע 0 לרגע t.
#2
+40
George Dontas
2010-08-25 15:58:53 UTC
view on stackexchange narkive permalink

בתהליך Poisson, פגיעות מתרחשות באופן אקראי ללא תלות בעבר, אך עם שיעור ממוצע ידוע לטווח ארוך $ \ lambda $ של התאמות ליחידת זמן. התפלגות פואסון תאפשר לנו למצוא את ההסתברות לקבל מספר מסוים של התאמות.

כעת, במקום להסתכל על מספר ההתאמות, אנו מסתכלים על המשתנה האקראי $ L $ (לכל החיים), הזמן שיש לך לחכות ללהיט הראשון.

ההסתברות שזמן ההמתנה הוא יותר מערך זמן נתון היא $ P (L \ gt t) = P (\ text {אין התאמות בזמן t}) = \ frac {\ Lambda ^ 0e ^ {- \ Lambda}} {0!} = e ^ {- \ lambda t} $ (לפי התפלגות Poisson, שם $ \ Lambda = \ lambda t $ ).

$ P (L \ le t) = 1 - e ^ {- \ lambda t} $ (פונקציית ההתפלגות המצטברת). אנו יכולים לקבל את פונקציית הצפיפות על ידי לקיחת הנגזרת של זה:

$$ f (t) = \ begin {cases} \ lambda e ^ {- \ lambda t} & \ mbox {for} t \ ge 0 \\ 0 & \ mbox {for} t \ lt 0 \ end {cases} $$

כל משתנה אקראי שיש לו צפיפות תפקוד כזה נאמר כמופץ באופן אקספוננציאלי.

נהנתי מההסבר $ P (L> t) = P $ * (אין להיטים בזמן t) *. זה היה הגיוני עבורי.
נקודה נוספת, ליחידת זמן אחת יש $ \ lambda $ כניסות, כך ש $ t $ יחידות זמן יש $ \ lambda t $ כניסות.
#3
+6
user2024015
2017-08-11 06:51:06 UTC
view on stackexchange narkive permalink

התשובות האחרות מסבירות את המתמטיקה בצורה טובה. אני חושב שזה עוזר לשקול דוגמה פיזית. כשאני חושב על תהליך פואסון, אני תמיד חוזר לרעיון של מכוניות שעוברות על כביש. למבדה הוא המספר הממוצע של מכוניות שעוברות ליחידת זמן, נניח 60 לשעה (למבדה = 60). אנו יודעים, עם זאת, שהמספר בפועל ישתנה - יש ימים יותר, כמה ימים פחות. התפלגות פואסון מאפשרת לנו לדגמן את השונות הזו.

כעת, ממוצע של 60 מכוניות לשעה שווה לממוצע של מכונית אחת שעוברת בכל דקה. שוב, אנו יודעים שתהיה שונות בזמן בין ההגעה: לפעמים יותר מדקה; בפעמים אחרות פחות. ההפצה האקספוננציאלית מאפשרת לנו לדגם את השונות הזו.

כל מה שנאמר, מכוניות שעוברות בדרך לא תמיד עוקבות אחר תהליך פואסון. אם יש תמרור ממש מעבר לפינה, למשל, הגעות הולכות להיות מכונסות במקום יציבות. על כביש מהיר פתוח, נגרר טרקטור איטי עשוי להחזיק שורה ארוכה של מכוניות, ולגרום שוב להצטברות. במקרים אלה, חלוקת פואסון עדיין עשויה לעבוד בסדר לפרקי זמן ארוכים יותר, אך האקספוננציאלי ייכשל בצורה קשה בתכנון זמני ההגעה.

שים לב גם שקיימת שונות עצומה בהתבסס על שעות היום: עמוס יותר בשעות הנסיעה לעבודה; הרבה יותר איטי בשעה 3 לפנות בוקר. וודא כי הלמדה שלך משקפת את פרק הזמן הספציפי שאתה שוקל.
#4
+4
Stuart Winter
2012-04-23 14:54:19 UTC
view on stackexchange narkive permalink

התפלגות הפואסון נגזרת בדרך כלל מהפצה בינומית (שתיהן דיסקרטיות). זה תמצא ב- Wiki.

עם זאת, ניתן להפיק את התפלגות ה- Poisson (דיסקרטית) גם מההפצה האקספוננציאלית (רציפה).

הוספתי את ההוכחה לוויקי. (קישור למטה):

https://en.wikipedia.org/wiki/Talk:Poisson_distribution/Archive_1#Derivation_of_ the_Poisson_Distribution_from_the_Exponential_Distribution

הקשר בין דיסקרטי ורציף לא היה ברור, תודה על כך!
אני לא משוכנע מאותו פיתרון בויקיפדיה.בפרט, חישובי סדר גבוה יותר כוללים מגבלות על אינטגרלים המכילים מונחי '1-x-y', אשר אינני מבין (לפחות נכון לעכשיו).יתרה מכך, נראה כי מונח הכותבים 'p (0; lambda)' לא נותן את אותה התשובה אם האינטגרל המשמש כאן מוחלף ב- '1-int' כאשר 'int' הוא אינטגרל נוסף עם גבולות בין '[0,1]`ולא` [1, + inf] `.אני עובד על זה במשך כשבוע ולא התקדמתי הרבה.
#5
+1
Ben
2020-05-27 07:16:10 UTC
view on stackexchange narkive permalink

בעוד שהתשובות האחרות כאן נפרטות יותר, אני אביא לך סיכום פשוט של המשוואה המתייחסת לקבוצת משתנים אקראיים אקספוננציאליים IID ומשתנה אקראי של Poisson שנוצר. ניתן ליצור משתנה אקראי של פואסון עם פרמטר $ \ lambda > 0 $ על ידי ספירת מספר האירועים הרציפים המתרחשים בזמן $ \ lambda / \ eta $ כאשר הזמנים בין האירועים הם משתנים אקראיים אקספוננציאליים עצמאיים עם קצב $ \ eta $ . (הגדרת $ \ eta = 1 $ נותנת לך דרך פשוטה ליצור משתנה אקראי של Poisson מסדרה של משתנים אקראיים אקספוננציאליים של יחידת IID.)

המשמעות היא שאם $ E_1, E_2, E_3, ... \ sim \ text {Exp} (\ eta) $ עם פרמטר rate $ \ eta>0 $ , ו $ K \ sim \ text {Pois} (\ lambda) $ עם פרמטר rate $ \ lambda>0 $ אז יש לך:

$$ \ mathbb {P} (K \ geqslant k) = \ mathbb {P} \ Big (E_1 + \ cdots + E_k \ leqslant \ frac {\ lambda} {\ eta} \ Big). $$



שאלה ותשובה זו תורגמה אוטומטית מהשפה האנגלית.התוכן המקורי זמין ב- stackexchange, ואנו מודים לו על רישיון cc by-sa 2.0 עליו הוא מופץ.
Loading...