שְׁאֵלָה:
כיצד מחולק המינימום של קבוצת משתנים אקראיים IID?
Simon Nickerson
2010-07-20 10:23:04 UTC
view on stackexchange narkive permalink

אם $ X_1, ..., X_n $ הם משתנים אקראיים המופצים באופן זהה, מה ניתן לומר על התפלגות $ \ min (X_1, ..., X_n) $ באופן כללי?

שְׁלוֹשָׁה תשובות:
#1
+69
ukw
2011-04-28 07:10:36 UTC
view on stackexchange narkive permalink

אם ה- CDF של $ X_i $ מסומן על ידי $ F (x) $ , אז CDF של המינימום ניתן על ידי $ 1- [1-F (x)] ^ n $ .

נימוק: נתון $ n $ משתנים אקראיים, ההסתברות $ P (Y \ leq y) = P (\ min (X_1 \ נקודות X_n) \ leq y) $ מרמז שלפחות $ X_i $ קטן מ- $ y $ .

ההסתברות שלפחות $ X_i $ קטנה מ- $ y $ שווה ערך לאחד פחות ההסתברות שכל $ X_i $ גדול מ- $ y $ span > כלומר $ P (Y \ leq y) = 1 - P (X_1 \ gt y, \ dots, X_n \ gt y) $ .

אם $ X_i $ הם עצמאיים המופצים זהה, אז ההסתברות שכל $ X_i $ גדולים מ $ y $ הוא $ [1-F (y)] ^ n $ . לכן, ההסתברות המקורית היא $ P (Y \ leq y) = 1- [1-F (y)] ^ n $ .

דוגמה : אמור $ X_i \ sim \ text {Uniform} (0,1) $ , ואז באופן אינטואיטיבי ההסתברות $ \ min (X_1 \ נקודות X_n) \ leq 1 $ צריך להיות שווה ל- 1 (כיוון שהערך המינימלי תמיד יהיה פחות מ -1 מכיוון ש $ 0 \ leq X_i \ leq 1 $ לכל $ i $ ). במקרה זה $ F (1) = 1 $ ולכן ההסתברות היא תמיד 1.

אתר זה תומך בתחביר Markdown לעריכה, וב- LATEX לביטויים מתמטיים. מידע נוסף ניתן למצוא כאן: http://stats.stackexchange.com/editing-help.
תודה שסיפקת את הנימוק. הייתה לי בעיה עם משתנים שאינם מופצים זהים, אך ההיגיון המינימלי עדיין חל היטב :)
אני חושב שתשובה 1- (1-F (x)) ^ n נכונה במקרים מיוחדים.מקרים מיוחדים הוא תנאי ש pmf של r.v.מבוסס על נוסחה לדומיין של r.v.אם זה שונה בחלקים שונים של התחום שהוזכר לעיל סוטה מעט מתוצאות הסימולציה בפועל.
האם ניתן לומר משהו על הממוצע וסטיית התקן?
#2
+43
Rob Hyndman
2010-07-20 10:35:49 UTC
view on stackexchange narkive permalink

אם ה- cdf של $ X_i $ מסומן ב- $ F (x) $, אז ה- cdf של המינימום ניתן על ידי $ 1- [1-F (x)] ^ n $.

#3
+17
Mark Meckes
2010-07-20 19:47:31 UTC
view on stackexchange narkive permalink

רוב הינדמן נתן את התשובה המדויקת והקלה עבור n קבוע. אם אתה מעוניין בהתנהגות אסימפטוטית עבור n גדול, זה מטופל בתחום של תורת הערכים הקיצוניים. יש משפחה קטנה של הפצות מגבילות אפשריות; ראה למשל את הפרקים הראשונים של ספר זה.

דעתי היא שהספר הזה הוא הספר העוסק בתורת ערכים קיצונית


שאלה ותשובה זו תורגמה אוטומטית מהשפה האנגלית.התוכן המקורי זמין ב- stackexchange, ואנו מודים לו על רישיון cc by-sa 2.0 עליו הוא מופץ.
Loading...